روستای تاریخی هنجن

سخن مدیر

سلام!

دوسال پیاپی متاسفانه اصلا نتونستم به وبلاگ سر بزنم و یک سال قبلش هم تقریبا چند ماه یک بار یه سرکی می کشیدم بعد از این دوسال دلتنگی بالاخره برگشتم.نمی دونم چند نفر از دنبال کننده هام هنوز باقی موندن که امیدوارم همه باشن ولی میخوام قوی تر از همیشه دوباره شروع کنم پس به همین دلیل ممکنه چند روزی وبلاگ از دسترس خارج بشه.تو این مدت که نبودم کل قالب وبلاگ کهنه شد و متاسفانه کاملا حذف شد و مطالب هم بسیار قدیمی و نیاز به تدوین و حذف دارن.در زمینه فضای مجازی هم که دگ واویلا موقعی که من رفتم تقریبا کسی زیاد اهل اپلیکیشنای مبایل نبود ولی الان زنگی همه شده تلگرام و اینستاگرامو... و حتما باید برای اونم یه فکری بکنم

موفق و پیروز باشید

#پنج_ساله_شدیم

+ نوشته شده در جمعه ۸ مرداد ۱۳۹۵ ساعت 10:14 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

صفحه ی اصلی

پیشنهادات ما به شما

مطالب روستای تاریخی هنجنفروشگاههنجنی هکهنجنی طراحی قالب سایت

ویژه : زندگی نامه ی بزرگانجُک

افرادی که از کشور هایی به جز ایران سر به وبلاگ ما زدند لطفا در نظرات همین پست اعلام کنید

در خواست همکار

برای همکاری با ما در بخش نظرات اعلام کنید

در صورت دیدن مشکلی در سایت ما آن را سریعا در نظرات این پست اعلام کنید.

برای استفاده از تمامی مطالب ، بر روی موضوع دلخواه خود ، در موضوعات وب کلیک کنید و در آن به دنبال مطلب دلخواه خود بگردید.

+ نوشته شده در یکشنبه ۴ بهمن ۱۳۹۴ ساعت 14:12 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

علت به روز نشدن وبلاگ

سلام

خیلی وقته که شدیدا درگیر درسم و هرموقع که میام سر کامپیوتر هم کارای درسیم رو انجام می دم واسه همین تا عید و یا تعطیلی ها نمیتونم وبلاگ رو به روز کنم.

باز هم از همگی عذر خواهی میکنم

تابستان 92 برمیگردم

+ نوشته شده در پنجشنبه ۱۶ آذر ۱۳۹۱ ساعت 17:15 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

آیا 64=65 ؟

+ نوشته شده در چهارشنبه ۲۵ مرداد ۱۳۹۱ ساعت 18:15 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

هنجنی یک ساله شد !!!

یک سال است که ما در خدمت شما هستیم و البته چه خشنودیم و چه شاد

آرزوی موفقیت تمام و کمال را برای شما داریم

به امید دیدار جاودان ما با شما

گروه هنجنی

+ نوشته شده در پنجشنبه ۱۱ خرداد ۱۳۹۱ ساعت 17:40 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

شهادت بانوی دو عالم

شهادت بانوی دو عالم حضرت فاطمه ی زهرا را به تمامی شیعیان و محبان اهل بیت تسلیت می گوییم .

+ نوشته شده در چهارشنبه ۶ اردیبهشت ۱۳۹۱ ساعت 18:39 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

هشدار

بیایید چهارشنبه سوری را به چهارشنبه سوزی تبدیل نکنیم

+ نوشته شده در سه شنبه ۲۳ اسفند ۱۳۹۰ ساعت 22:25 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

فرمول شخصیت

می دانیم دراعداد کسری هر چه صورت کسر از مخرج بزرگتر باشد عدد بزرگتر است. مثلا ۵/^۷بزرگتراز ۵/^۳است.

اگر ما شخصیت هر شخصی را به صورت یک کسر نشان دهیم به این صورت که توانایی های وی صورت کسر و توقع های او را در مخرج قرار دهیم خواهیم داشت:

شخصیت انسان=_{توقع ها}/^{توانایی ها}

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:25 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

عاقل و جاهل

ارسطو براین باور بود که عاقل با عاقل موافق است و جاهل نه با جاهل موافق است نه با عاقل ، زیرا خط مستقیم بر خط مستقیم منطبق می شود و خط معوج و پیچ پیچ نه با معوج مطابق است نه با مستقیم

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:24 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

خط تقارن انسانها

می دانیم خط تقارن هرشکل، آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند یعنی دو قسمت که کاملا بر هم منطبق می شوند.

اگر هر آدمی را به دو بخش گفتار وکردار تقسیم نماییم خوشا به سعادت آنان که گفتار و کردار آنها بر هم منطبق است.

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:24 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

نظریه مجموعه ها

نظریهٔ مجموعه‌ها شالودهٔ بنیادین و سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریف‌های دقیق جمیع مفاهیم ریاضی، مبتنی بر نظریهٔ مجموعه‌هاست. گذشته از این، روش‌های استنتاج ریاضی با استفاده از ترکیبی از استدلال‌های منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریهٔ مجموعه‌ها، زبان مشترکی است که ریاضیدانان در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید با مفاهیم اساسی و زبان نظریهٔ مجموعه‌ها آشنا شود.

نظریه مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتور بنیان گذاشته شد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلال‌های جدید و متهورانهٔ خود را منتشر کرد، اهمیت آن‌ها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه بعدها، تقریباً در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تأثیری عمیق بر گسترش آن‌ها داشت. به‌طوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید و ریاضیدانان سعی کردند مفاهیم ریاضی را بر اساس نظریهٔ مجموعه‌ها تعریف کنند. همچنین توسعه بعضی از نظام‌های ریاضی، از قبیل تو پو لو ژی اساساً به ابزار نظریهٔ مجموعه‌ها وابسته‌است. از این‌ها مهم‌تر، نظریهٔ مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داده‌است که به تمام شاخه‌های ریاضیات، وضوح و دقتی تازه بخشیده‌است.

هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌ها آشنا شویم می‌توانیم آن‌ها را به سه صورت مورد مطالعه قرار دهیم: مطالعهٔ مجموعه‌ها در حد آشنایی عمومی، که برای مطالعهٔ علوم پایه لازم است؛ مطالعهٔ مجموعه‌ها به روش طبیعی و مطالعهٔ مجموعه‌ها به روش بنداشتی. در نظریهٔ مجموعه‌ها دو واژهٔ طبیعی و بنداشتی دو واژهٔ متضاد هم هستند.

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:23 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

عدد های توان دار

توان عملگری در ریاضی است که به صورت aⁿ نوشته می‌شود، به a پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح باشد، پایه n بار در خود ضرب می‌شود:

${{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n}$ .

همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:

${{a \times n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a + \cdots + a}} \atop n}$

توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.

توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7. توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها یک واحد است.

توان معمولاً به صورت بالانویس در سمت راست پایه نشان داده می‌شود. توان عملی در ریاضیات است که در بسیاری علوم دیگر از جمله اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علم رایانه، در قسمت‌هایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.

ادامه نوشته

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:22 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

ترکیبات در ریاضیات

تعریف

تعداد روش‌های انتخاب r شی از n شی به طوریکه ترتیب در انتخاب r شی اهمیت نداشته باشد. گاهی تعریف دیگری برای ترکیب ارائه می‌شود که شامل انتخاب زیر مجموعه r عضوی از یک مجموعه n عضوی می‌باشد.در تعریف دوم نیز مسلما ترتیب اعضا اهمیتی ندارد جراکه از تعریف مجموعه چنین برمی آید.

نماد

ترکیب را با نمادهای $\mathbf{C}(n,r) = \mathbf{C}_r^n= {_nC_r} = {n \choose r}$ نمایش می‌دهند و آن را انتخاب r از n می نامند.

محاسبه

می خواهیم از مجموعه { $a 1, a 2,..., a n$ } که تمامی اعضایش متمایزند یک زیر مجموعه r عضوی انتخاب کنیم. برای این کار ابتدا سعی می کنیم تا r عضو از این مجموعه را در یک ردیف به دنبال هم قرار دهیم.که این همان جایگشت r تایی از بین n عضو است که بنابر محاسبه جایگشت ها تعداد حالات انجام این کار برابر با $P_r^n$ است.با کمی دقت می‌توان دریافت که در حین این عملیات ما هم r عضو از بین n عضو مجموعه اصلی انتخاب کردیم و هم آنها را در یک ردیف چیدیم.در حالی که برای به دست آوردن تعداد ترکیب r تایی از بین n عضو تنها باید r عضو انتخاب کرده و بخش دوم یعنی چیدن آنها در یک ردیف را انجام ندهیم.برای رسیدن به این مطلوب باید در نظر داشت که هر r عضو { $a_{x_1},a_{x_2},...,a_{x_r}$ } به تعداد !r جایگشت ایجاد می‌کنند که در ترکیب این جایگشت‌ها حالات تکراری محسوب می‌شوند در نتیجه باید پاسخ بر !r تقسیم شود:

${n \choose r} = \frac{P_r^n}{r!} = \frac{\frac{n!}{(n-r)!}}{r!}$

${n \choose r} = \frac{n!}{r!\times(n-r)!}$

فرمول‌های مفید

${n \choose r} = {n \choose n-r}$

${n \choose r} = {n-1 \choose r} + {n-1 \choose r-1}$

(فرمول پاسکال)

${n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + \dots + {n \choose n} = 2^n$

(مجموع ضرایب بسط دو جمله ای)

ترکیب‌های با تکرار

فرض کنید 10 نوع کارت مختلف داریم(روی هر کارت شکل متفاوتی وجود دارد)و از هر نوع کارت به تعداد بی نهابت(البته به دلایلی که در ادامه آمده به جای واژه بی نهایت می‌توان از 5 استفاده کرد) تا در دسترس داریم.حال تعداد راه‌هایی که می‌توان 5 کارت از بین کل کارت‌ها انتخاب کرد برابر است با تعداد جواب‌های معادله زیر:

$X_1 + X_2 + \dots + X_10 = 5$

در معادله بالا $X i$ ها نماینده 10 نوع کارت هستند و از آنجا که باید مجموع کارتها 5 شود در سمت راست معادله عدد 5 آمده است.حال هر جواب این معادله با یک جواب از مسئله اصلی(مسئله کارتها)متناظر است مثلا جواب $X 1 0 = 2$ ، $X 2 = 1$ ، $X 1 = 2$ در مسئله کارتها به این معنا است که از کارت نوع 1 به تعداد 2 عدد و از کارت نوع دوم به تعداد یکی، از کارت نوع 10 تعداد 2 تا و از سایر کارت‌ها هیچی انتخاب نکرده ایم و به طور بلعکس جوابی که در مورد کارتها در خط بالا مطرح شد خود یک جواب برای معادله به شمار می‌آید.

حال که تناظر بین هر جواب معادله و مسئله کارتها مشخص شد می خواهیم به دنبال محاسبه تعداد جواب‌های معادله فوق باشیم.

محاسبه

می خواهیم پاسخ معادله زیر را بیابیم:

$X_1 + X_2 + \dots + X_n = r$

$0 \le X_i$

ادعا می کنیم که هر جایگشت دلخواه که با n-1 تا S و r تا U نوشته شود با یکی از جوابهای معادله فوق متناظر است.به این صورت که برای هر جایگشت دلخواه از U و Sها تعداد U هایی که قبل از اولین S آمده نشان دهنده جوابی برای $X 1$ است و تعداد Uهای بین اولین و دومین S نشان دهنده عدد متناظر با $X 2$ است ... و در نهایت تعداد Uهای بعد از آخرین S نشان دهنده مقدار $X n$ می‌باشد.

مثلا برای معادله $X_1 + X_2 + \dots + X_10 = 5$ جایگشت زیر معادل با جواب $X 1 0 = 2$ ، $X 2 = 1$ ، $X 1 = 2$ است:

$\underbrace{ UU }_{X_1}$ S $\underbrace{ U }_{X_2}$ S $\underbrace{ }_{X_3}$ S ... S $\underbrace{ UU }_{X_{10}}$

می دانیم که تعداد جایگشت‌های باتکرار برای n-1 عنصر یکسان و r عنصر یکسان دیگر در یک ردیف برابر است با:

${n+r-1 \choose r}$

بنابراین تعداد ترکیب‌های با تکرار برابر با مقدار فوق می‌باشد.

پس تعداد جواب مسئله کارتها برابر است با :

${10+5-1 \choose 5} = 2002$

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:22 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

اتحاد ها

معادله ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می شود.

کاربرد اتحاد

ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱^۲
تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.

انواع اتحاد

اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:

مربع دو جمله ای

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\,\!$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab \,\!$

مربع سه جمله‌ای

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \,\!$

* مکعب مجموع دو جمله * اتحاد مکعب مجموع دو جمله (a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,\!$

مزدوج

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \,\!$

اتحاد جمله مشترک

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \,\!$

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \,\!$

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \,\!$

اویلر(اولر)

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=a^3+b^3+c^3-3abc \,\!$

اتحاد لاگرانژ

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,\!$

نیوتونی

$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\dots+\binom{n}{n}a^0b^n$

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:19 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

روابط مهم مثلثات

سینوس‌ها و کسینوس‌های حول دایره مثلثاتی

روابط مهم مثلثاتی که در حل مسائل بسیار موثر خواهند بود :

$\cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 \,$

$\ cos (a+b)=cos a\times\ cos b - sin a\times\ sin b \,$

$\ cos (a-b)=cos a \times\cos b + sin a \times\sin b \,$

$\ sin (a+b)=sin a \times\cos b + cos a \times\sin b \,$

$\ sin (a-b)=sin a \times\cos b - cos a \times\sin b \,$

$' t a n (45 + a) = 1 + t a n a / 1 - t a n a'$

$\tan(a+b) = \frac{tan a + tan b}{1-tan a\times\tan b}\ \,$

$\tan(a-b) = \frac{tan a - tan b}{1+tan a\times\tan b}\ \,$

$\cos 2a=cos^2 a -sin^2 a=2cos^2 a -1= 1 - 2sin^2 a \,$

$\sin 2a=2sin a\times\cos a \,$

$\cos^2 a=\frac{1}{2}\ (1+cos 2a) \,$

$\sin^2 a=\frac{1}{2}\ (1-cos 2a) \,$

$\ cos a \times\cos b =\frac{1}{2}(cos (a+b)+ cos (a-b))$

$\ sin a \times\sin b =\frac{1}{2}(cos (a-b)- cos (a+b))$

$\ sin a \times\cos b =\frac{1}{2}(sin (a+b)+ sin (a-b))$

$\ cos a +cos b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ cos a -cos b=-2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ sin a +sin b=2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ sin a -sin b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,$

چنانچه $t = \tan \frac{A}{2}$ , : آنگاه

$\sin\ A = {{2\,t} \over {1+t^{2}}}$

$\cos\ A = {{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}$

$\tan\ A = {{2\,t}\over {1-t^{2}}}$

روابط کسینو س ها

$a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c \cdot cos\ A$

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:18 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

توابع

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x³.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

ادامه نوشته

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:17 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

هندسه اقلیدسی

هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعه‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.

تاریخچه

در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:

شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.

اصول موضوعه

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شوند:

از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.
هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.
اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه‌است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).^[۱]

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.

اصول متعارفی

دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.
اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.
اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.
دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.
کل از جزء بزرگ‌تر است.

پس از اقلیدس

۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضی‌دان‌های زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که هندسه‌های نااقلیدسی نامیده می‌شود. هندسه‌ای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود هندسه نتاری نامیده می‌شوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:16 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

قضیه فیثاغورس

بر اساس قضیه فیثاغورس مجموع مساحت‌های دو مربع روی دو ضلع قائم(a و b)، برابر مربع روی وتر(c) است.

قضیهٔ فیثاغورس در هندسه و فضای اقلیدسی بخشی از صورت کلی قانون کسینوس‌ها هنگامی که زاویهٔ بین دو بردار ۹۰ درجه‌است می‌باشد. این قضیه به نام ریاضی‌دان یونانی فیثاغورس نامگذاری شده‌است. به سخن دیگر در یک مثلث راست‌گوشه (قائم الزاویه) همواره مجموع توان‌های دوم دو ضلع برابر با توان دوم ضلع سوم است.

قانون کسیونس‌ها بیان می‌کند که اگر دو بردار (یا خط) a و b در راس O تشکیل یک زاویه با نام A بدهند بردار مجموع از رابطهٔ $a 2 + b 2 - 2 a b C o s A = c 2$ بدست می‌آید.

همانطور که می‌بینید هر گاه زاویه A برابر با ۹۰ درجه باشد مقدار $2 a b c o s A$ صفر شده و در نتیجه صورت قضیهٔ فیثاغورس بدست می‌آید:

$a 2 + b 2 = c 2$

معکوس این قضیه نیز درست است، به عبارت دیگر اگر $a 2 + b 2 = c 2$ مثلث قائم‌الزاویه‌است. اثبات عکس قضیه فیثاغورث را به اقلیدس نسبت داده‌اند.^[۱]

اگر c طول وتر مثلث راست‌گوشه باشد و a و b طول دو ضلع دیگر آن، قضیهٔ فیثاغورس را به شکل رابطهٔ زیر می‌نویسیم:

$a^2 + b^2 = c^2\$

و اگر مقدار a و b معلوم باشد c را به این شکل بدست می‌آوریم:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \,$

و اگر c معلوم باشد و یکی از دو ضلع a یا b نامعلوم، آن‌ها را اینگونه بدست می‌آوریم:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \,$

یا

$b = \sqrt{c^2 - a^2} \,$

همانگونه که در پیشگفتار بیان شد، قضیهٔ فیثاغورس بخشی از صورت کلی قانون کسینوس‌ها است.

اثبات

قضیهٔ فیثاغورس، قضیه‌ای است که بیش از هر قضیهٔ دیگری اثبات دارد، در کتاب پیشنهاد فیثاغورس (به انگلیسی: The Pythagorean Proposition)، حدود ۳۷۰ اثبات برای این قضیه آورده شده‌است.^[۲]

اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه

این اثبات بر اساس نسبت تناسب میان دو مثلث متشابه بیان شده‌است. به این معنی که اگر دو مثلث متشابه داشته باشیم، نسبت طول‌های هر دو ضلع متشابه میان دو مثلث ثابت است.

همان گونه که در شکل نشان داده شده‌است، فرض کنید ABC مثلثی راست‌گوشه‌است و C زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) است. حال ارتفاع مثلث را از گوشهٔ C بر وتر AB رسم می‌کنیم و نقطهٔ برخورد را H می‌نامیم. نقطهٔ H وتر را به دو بخش d و e تقسیم می‌کند.

مثلث جدید ACH و مثلث ABC با یکدیگر متشابه‌اند. چون هر دو یک زاویهٔ ۹۰ درجه دارند (طبق تعریف ارتفاع مثلث) و زاویهٔ A در هر دو مشترک است؛ از این می‌توان نتیجه گرفت که زاویهٔ سوم θ در هر دو یکسان است (در شکل نشان داده شده‌است). به دلیل مشابه مثلث CBH نیز با مثلث ABC متشابه‌است. به دلیل تشابه مثلث‌ها، روابط زیر برقرار خواهد بود:

$\frac{a}{c}=\frac{e}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{d}{b}.\,$

عبارت سمت چپ، برابر است با کسینوس زاویهٔ θ و سمت راست برابر است با سینوس زاویهٔ θ.

این نسبت‌ها را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت:

$a^2=c\times e$ و $b^2=c\times d$

اگر دو تساوی را با یکدیگر جمع کنیم، خواهیم داشت:

$a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2 ,\,\!$

که همان تساوی قضیهٔ فیثاغورس خواهد بود:

$a^2+b^2=c^2 \ .\,\!$

روش گفته شده اثبات دانتزیگ، Dantzig بود که یک روش ریاضی بود و بر اساس طول‌ها. این اثبات در تاریخ علم، نقشی قابل توجه داشته‌است. اما سوالی که اینجا مطرح است این است که چرا اقلیدوس از این روش استفاده نکرده و برای اثبات آن روش دیگری را از خود گفته‌است. یک گمان این است که اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه نیاز به دانستن تئوری تناسب‌ها داشته که تا آن زمان هنوز مورد بحث قرار نگرفته بود.^[۳]^[۴]

اثبات اقلیدوس

اثبات نوشته شده در کتاب اصول هندسهٔ اقلیدوس

خلاصهٔ اثباتی که در کتاب اصول هندسهٔ اقلیدوس نوشته شده چنین است: مربع بزرگ را به دو مستطیل سمت چپ و سمت راست تقسیم می‌کنیم. یک مثلث ساخته شده‌است که مساحتش نصف مساحت مستطیل سمت چپ است. سپس یک مثلث دیگر ساخته می‌شود که مساحتش نصف مساحت مربع سمت چپ است. می‌توان نشان داد که این دو مثلث با یکدیگر مساوی‌اند درنتیجه مساحت مربع با مساحت مستطیل سمت چپ برابر است. به دلیل مشابه، مطلب گفته شده برای مستطیل سمت راست و مربع دیگر نیز برقرار است. اگر دو مستطیل را کنار هم قرار دهیم تا یک مربع روی وتر مثلث تشکیل دهند، می‌بینیم که مساحت مربع بزگ (مربعی که روی وتر تشکیل شد) با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر برابر است. جزئیات این مطلب در ادامه گفته شده‌است.

فرض کنید A و B و C سه گوشهٔ یک مثلث راست‌گوشه‌اند که زاویهٔ A در آن ۹۰ درجه‌است. خطی را عمود از گوشهٔ A بر روی وتر BC رسم می‌کنیم و آن را امتداد می‌دهیم تا ضلع پایین مربع کشیده شده روی وتر را قطع کند. این خط مربع روی وتر را به دو مستطیل تقسیم می‌کند که هریک از این مستطیل‌ها مساحتی برابر با مساحت مربع‌های رسم شده بر روی دو ضلع زاویهٔ A دارند.

برای ادامهٔ اثبات نیاز به دانستن چند نکته‌است:

اگر دو ضلع از یک مثلث با دو ضلع از مثلث دیگر یک به یک برابر باشد و زاویهٔ میان آن دو ضلع نیز با هم برابر باشد، می‌توان نتیجه گرفت که دو مثلث با یکدیگر برابرند.
مساحت هر مثلث نصف مساحت چهارضلعی است که اضلاعش با یکدیگر دو به دو موازی‌اند و ارتفاع و قاعده‌ای برابر با ارتفاع و قاعدهٔ مثلث دارد.
مساحت یک مستطیل برابر است با حاصل ضرب دو ضلع مجاورش.
مساحت یک مربع برابر است با حاصل ضرب دو ضلع از آن.

هر یک از دو مربع بالایی با یکی از آن دو مثلثِ هم نهشت مرتبط است و هر یک از این مثلث‌ها نیز به نوبهٔ خود با یکی از مستطیل‌های سازندهٔ مربع پایینی ارتباط دارد.^[۵]

شکل جدید مسئله برای بهتر روشن شدن مطلب به همراه خط‌های جدید.

ادامهٔ اثبات:

فرض کنید مثلث ABC یک مثلث راست‌گوشه‌است که زاویهٔ CAB در آن ۹۰ درجه‌است.
بر روی هریک از اضلاع BC و AB و CA به ترتیب مربع‌های CBDE و BAGF و ACIH رسم شده‌است.
از گوشهٔ A خطی به موازات BD و CE رسم می‌کنیم؛ این خط به صورت عمودی با BC و DE بر خورد می‌کند، محل‌های برخورد را به ترتیب K و L می‌نامیم.
دو گوشهٔ C را به F و A را به D وصل می‌کنیم تا مثلث‌های BCF و BDA تشکیل شود.
زاویه‌های CAB و BAG هر دو زاویه‌های راست‌اند. بنابراین نقاط C و A و G بر روی یک امتداد قرار دارند (هم‌خط‌اند)؛ برای نقاط B و A و H نیز همین مطلب برقرار است.

در این نگاره، دو مثلث مساوی که مساحتی برابر با نصف مساحت مستطیل BDLK و مربع BAGF دارند، نمایش داده شده‌است.
زاویه‌های CBD و FBA نیز هر دو زاویه‌های راست‌اند. درنتیجه دو زاویهٔ ABD و FBC با یکدیگر برابرند چون هردو برابرند با حاصل جمع یک زاویهٔ ۹۰ درجه با زاویهٔ ABC.
چون AB با FB و BD با BC برابر است؛ درنتیجه مثلث ABD ناگزیر با مثلث FBC برابر خواهد بود.
چون A-K-L یک خط مستقیم است و با BD نیز موازی است؛ پس BDLK یک چهارضلعی با اضلاع دو به دو موازی است و مساحتی دو برابر مساحت مثلث ABD دارد؛ چون قاعدهٔ BD در هر دو مشترک است و ارتفاع نیز در هر دو طولی برابر با BK دارد.
چون نقطهٔ C و دو نقطهٔ A و G هر سه بر یک راستا قرار دارند، پس مربع BAGF باید مساحتی دو برابر مساحت مثلث FBC داشته باشد.
می توان نتیجه گرفت که مساحت مستطیل BDLK، و مربع BAGF با هم برابر است و اندازهٔ آن برابر با AB² است.
به طور مشابه می‌توان نشان داد که مستطیل CKLE مساحتی برابر با مساحت مربع ACIH و برابر با AC² دارد.
با جمع این دو نتیجه با یکدیگر خواهیم داشت: AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
چون BD = KL و BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
چون CBDE یک مربع است پس می‌توان نتیجه گرفت که AB² + AC² = BC²

این اثباتی بود که در کتاب اصول هندسهٔ اقلیدوس به عنوان پیشنهاد ۴۷ در کتاب ۱ آمده‌است.^[۶] و بیان می‌دارد که مساحت مربع ساخته شده روی وتر، برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر.^[۷] اثبات اقلیدوس یک اثبات مساحتی است و برخلاف اثبات دانتزیگ وابسته به مساحت‌ها است و نه طول‌ها. این روش کاملا با اثبات بوسیلهٔ تشابه مثلث‌ها که احتمال داده می‌شود روش مورد استفادهٔ خود فیثاغورس بوده، متفاوت است.^[۴]^[۸]

اثبات با استفاده از بازچینی

در نگارهٔ پویای سمت چپ، مساحت کل و مساحت مثلث‌ها همگی ثابت است. بنابراین، مساحت کل ناحیهٔ سیاه رنگ، ثابت است. اما ناحیهٔ اصلی سیاه رنگ با ضلع c را می‌توان به دو مربع با ضلع‌های a و b تقسیم کرد و نشان داد که: a² + b² = c².

اثبات دوم با استفاده از نگارهٔ پویای میانی است. مربع بزرگ اول، مساحتی برابر با c² دارد با کنار هم قرار دادن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان و به دلیل اختلاف طول ضلع مثلث‌ها، یک مربع کوچک میان آن‌ها و در مرکز مربع بزرگ باقی می‌ماند. اگر یک بار دیگر نگاه کنیم می‌بینیم که با جابجایی مثلث‌ها، دو مستطیل با ضلع‌های a و b تشکیل شده‌است. با ادغام مربع کوچک میانی با یکی از مستطیل‌ها، دو مستطیل به دو مربع تبدیل خواهد شد و مساحت هریک از آن‌ها برابر با a² و b² خواهد بود. بنابراین c² = a² + b². است.

نگارهٔ سوم سمت راست، نیز خود یک اثبات است. همان گونه که در نگاره نمایش داده شده‌است، دو مربع بالایی، با سایه‌های آبی و سبز به چندین بخش تقسیم شده‌اند. اگر این قسمت‌های سایه‌خورده را کنار هم بچینیم می‌بینیم که مربع پایینی روی وتر را به خوبی پر می‌کنند؛ عکس این مطلب نیز برقرار است یعنی مربع پایینی که روی وتر تشکیل شده را می‌توان چنان قسمت کرد که دو مربع بالایی به خوبی با این قسمت‌ها پر شود. با این کار نشان دادیم که مساحت مربع بزرگ برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع کوچک.^[۹]

اثبات با استفاده از بازچینی چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان	پویانمایی برای نمایش یک اثبات دیگر بوسیلهٔ بازچینی ^[۱۰]
	اثبات با استفاده از نمایش ریزه‌کاری‌های بازچینی

اثبات جبری

نگاره‌های مربوط به دو اثبات جبری.

قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان با استفاده از چیدن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان با ضلع‌های a و b و c درون یک مربع با ضلع c به صورت جبری اثبات کرد.^[۱۱] مثلث‌ها یکسانند و مساحتی برابر با $\tfrac12ab$ دارند. مربع کوچک ضلعی برابر با b − a و مساحتی برابر با ² (b − a) به این ترتیب مساحت مربع بزرگ برابر خواهد بود با:

$(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = a^2+b^2. \,$

و چون این مربع ضلعی برابر با c دارد پس مساحتی برابر با ² c خواهد داشت، می‌توان نتیجه گرفت:

$c^2 = a^2 + b^2. \,$

همان گونه که در پایین نگاره می‌توان دید، اثبات مشابه دیگری وجود دارد که در آن با استفاده از بازچینی چهار مربع یکسان به دور مربعی به ضلع c به نتیجه می‌رسد.^[۱۲] با این کار مربع بزرگتری به ضلع (a+b) و در نتیجه با مساحت ² (a+b) تشکیل می‌شود. چهار مثلث و مربع با ضلع c مساحتی برابر با مساحت مربع بزرگتر دارد.

$(b+a)^2 = c^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2+2ab,\,$

با جابجایی عبارت پشت تساوی خواهیم داشت:

$c^2 = (b+a)^2 - 2ab = a^2 + b^2.\,$

اثبات دیگری برای این قضیه ارائه شده‌است که آن را به جیمز آبرام گارفیلد نسبت می‌دهند.^[۱۳]^[۱۴] در این اثبات بجای مربع از یک ذوزنقه استفاده می‌شود. بخشی از این ذوزنقه از دو نیم کردن (به صورت قطری) مربعی که در اثبات دوم در بالا گفته شد تشکیل شده‌است. مساحت ذوزنقه برابر با نصف مساحت آن مربع است:

نگارهٔ مربوط به اثبات گارفیلد

$\frac{1}{2}(b+a)^2.$

مربع داخلی نیز دو نیم شده‌است، ادامهٔ اثبات به همان روش مشابه‌است با این تفاوت که عامل $\frac{1}{2}$ را اضافه‌تر دارد. که با دو برابر کردن کل عبارت به آسانی حذف می‌شود.

اثبات به روش دیفرانسیلی

یک راه اثبات فیثاغورس، نگاه به این مطلب است که با تغییر طول یکی از اضلاع مثلث، در اندازهٔ وتر چه تغییری صورت می‌گیرد، این کار را باید با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال انجام داد.^[۱۵]^[۱۶] این نوع اثبات را اثبات به روش اندازه‌گیری می‌نامند و از نوع اثبات دانتزیگ است که در آن به اندازه‌گیری طول‌ها می‌پردازند و نه مساحت‌ها.

همان‌گونه که در شکل نشان داده شده‌است، می‌توان از دو مثلث راست‌گوشهٔ ADP و AQP استفاده کرد تا حدهای بالایی و پایینی نسبت دیفرانسیل Δc/Δa را معلوم کرد. بنابراین حد را می‌توان از Δa, Δc → 0, گرفت. از نتیجهٔ مشتق dc /da می‌توان برای اثبات فیثاغورس استفاده کرد.

از مثلث ABC:

$\cos \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{a + \Delta a}{c+\Delta c}.$

حال مثلث ADP را رسم می‌کنیم، سپس:

$\cos \theta = \frac{AD}{AP} = \frac{AD}{\Delta a} > \frac{\Delta c}{\Delta a}.$

نگاره‌ای که برای بدست آوردن حدهای بالایی و پایینی $\Delta c / \Delta a \, .$ ^[۱۵] کشیده شده‌است.

همان گونه که در قسمت بالای نگاره نشان داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از AD > Δc نتیجه گرفت، با ترکیب cos θ در عبارت بدست می‌آید: ^[۱۷]

$\frac{\Delta c}{\Delta a} < \frac{a + \Delta a}{c+\Delta c}.$

پس از آن مثلث راست‌گوشهٔ AQP را تشکیل می‌دهیم (قسمت پایین نگاره) چون هر دو مثلث AQP و PBC یک زاویهٔ $\scriptstyle \phi$ دارند، پس:

$\cos \phi = \frac{a}{c} =\frac{PQ}{PA}= \frac{PQ}{\Delta a} < \frac{\Delta c}{\Delta a}.$

همان‌گونه که در نگارهٔ پایینی نمایش داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از PQ < Δc نتیجه گرفت، با ترکیب دو نامساوی که از مثلث‌های ADP و AQP بدست آمد، ایجاد می‌شود:

$\frac{a}{c} < \frac{\Delta c}{\Delta a} < \frac{a + \Delta a}{c+\Delta c} = \left(\frac{a}{c} \right) \frac{1+ \Delta a /a}{1+\Delta c /c}.$

حال حدهای بالایی و پایینی نسبت Δc /Δa را در اختیار داریم. وقتی که Δc و Δa به سمت صفر میل کنند، نسبت Δc /Δa به مشتق dc /da تبدیل می‌شود و حد بالایی و حد پایینی یکی می‌شود و خواهیم داشت:

$\frac {dc}{da} =\frac{a}{c},$

یا

$c \, dc = a \, da; \ d (c^2) = d (a^2),$

که انتگرالی برابر با مقدار زیر خواهد داشت:

$c^2 = a^2 + \,$ مقدار ثابت

آنگاه که a = 0 و c = b باشد، مقدار ثابت جواب انتگرال برابر با b² خواهد بود. بنابراین استدلال قضیهٔ فیثاغورس اثبات شد.

$c^2 = a^2 + b^2.\,$

وارون قضیه

درستی وارون قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان اثبات کرد.^[۱۸]

برای هر سه عدد مثبت a و b و c که در عبارت a² + b² = c² صدق کنند؛ می‌توان مثلثی پیدا کرد با طول ضلع‌های a و b و c که حتما دارای زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) میان ضلع‌های a و b است.

چنین اعدادی را اعداد فیثاغورسی می‌نامند. بیان دیگر وارون قضیه عبارت است از:

برای هر مثلثی با اضلاع a و b و c اگر a² + b² = c² باشد آنگاه زاویهٔ میان اضلاع a و b برابر با ۹۰ درجه خواهد بود.

بیان استفاده شده در کتاب اصول اقلیدوس (کتاب اول، پیشنهاد ۴۸)^[۱۹]:

اگر مربع یکی از اضلاع مثلثی برابر باشد با مجموع مربع‌های دوضلع دیگر، آنگاه زاویهٔ تشکیل شده با آن دو ضلع، یک زاویهٔ راست است.

درستی این مطلب را می‌توان با استفاده از قانون کسینوس‌ها اثبات کرد.

فرض کنید ABC مثلثی با اضلاع a و b و c باشد که a² + b² = c². حال باید ثابت کرد که زاویهٔ میان a و b زاویه‌ای راست است. مثلث دیگری می‌سازیم با ضلع‌های a و b و با یک زاویهٔ راست میان دو ضلع آن، چون می‌دانیم قضیهٔ فیثاغورس درست است پس طبق این قضیه باید وتر مثلث طولی برابر با c = √(a² + b²) داشته باشد. پس وتر مثلث دوم طولی برابر با وتر مثلث اول دارد. پس دو مثلث با یکدیگر برابرند از هم نهشتی دو مثلث می‌توان نتیجه گرفت که زاویه‌های دو به دو برابر نیز دارند. پس زاویهٔ میان ضلع‌های a و b در مثلث اصلی خود، زاویه‌ای راست است.

با استفاده از وارون قضیهٔ فیثاغورس می‌توان به آسانی پیدا کرد که یک مثلث زاویهٔ راست، تند یا باز دارد. اگر بزرگترین ضلع یک مثلث را c نامگذاری کنیم، بر اساس نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت a + b > c است (اگر چنین نباشد یعنی مثلثی تشکیل نشده‌است.) حال با استفاده از وارون قضیه فیثاغورس و نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت:^[۲۰]

اگر a² + b² = c², آنگاه مثلث راست‌گوشه‌است.
اگر a² + b² > c², آنگاه مثلث تیزگوشه‌است. (دارای زاویهٔ تند)
اگر a² + b² < c², آنگاه مثلث دارای زاویه‌ای باز است. (بیش از ۹۰ درجه)

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:14 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

هندسه نااقلیدسی

تصویری از سه حالت اصلی در بحث هندسه‌های نااقلیدسی.

هندسه‌های نااقلیدسی از مطالعهٔ عمیق‌تر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شده‌اند. دو نیم‌خط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار شماره ۱ در نظر بگیرد. در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ p تا Q باقی می‌مانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسه‌ی دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی «افزایش یافتن») که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها افزایش می‌یابد و دیگری هندسهٔ بیضوی که در آن فاصله رفته‌رفته کم می‌شود و سرانجام نیم‌خط‌ها هم‌دیگر را می‌برند. این هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط گاوس و ریمان در قالب هندسهٔ کلی‌تری بسط داده شدند. (همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته‌است.)

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:14 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

دانلود کتاب های درسی

برای دانلود کتابهای درسی اینجا کلیک کنید.

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:11 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

بازی با ریاضی 10

یک

6 ؟ 6 ؟ 6 ؟6=48

بجای علا مت ؟ علامت مناسب ریاضی بنویسید تا تساوی برقرار باشد

جواب:

۴۸=۶+۶+۶*۶

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:10 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

بازی با ریاضی 9

یک عدد سه رقمی بدون تکرار بنویسید سپس مقلوب انرا بنویسید( مثال 321 مقلوبش 123 است) اختلاف انها را بدست اورید حالا فقط یکا ن حاصل را بگویید . من حاصل را کامل به شما میگویمجواب : یکان را خودش گفته ، دهگان همیشه 9 است وصدگان همیشه برابر است باحاصل یکان- 9

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:10 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

بازی با ریاضی 8

یک عدد طبیعی به دلخواه بنویسید مثال ؟؟

حاصل را بگویید من عدد نخست شما را می گویم کافیست حاصل را تقسیم بر 4 کنید جواب عدد نخست خواهد بود

= ۱۰+۲* (۵- ؟؟+؟؟)

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:9 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

نظر یک ریاضی دان درباره زن و مرد

روزی از دانشمندی ریاضیدان نظرش را درباره زن و مرد پرسیدند.

جواب داد:
اگر زن یا مرد دارای ( اخلاق) باشند پس مساوی هستند با عدد یک =1
اگر دارای (زیبایی) هم باشند پس یک صفر جلوی عدد یک می ذاریم =10
اگر (پول) هم داشته باشند دوتا صفر جلوی عدد یک می ذاریم =100
اگر دارای (اصل و نصب) هم باشند پس سه تا صفر جلوی عدد یک می ذاریم =1000

ولی اگر زمانی عدد یک رفت (اخلاق) چیزی به جز صفر باقی نمی ماند و صفر هم به تنهایی هیچ نیست ، پس آن انسان هیچ ارزشی نخواهد داشت.

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:8 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

در جواب سوال دقت داشته باشیم

شرلوك هولمز كارآگاه معروف و معاونش واتسون رفته بودند صحرانوردي و شب هم چادري زدند و زير آن خوابيدند.
نيمههاي شب هلمز بيدار شد و آسمان را نگريست. بعد واتسون را بيدار كرد و گفت:
نگاهي به آن بالا بينداز و به من بگو چه ميبيني؟
واتسون گفت:
ميليونها ستاره ميبينم .
هلمز گفت:
چه نتيجه ميگيري؟
واتسون گفت:
از لحاظ روحاني نتيجه ميگيرم كه خداوند بزرگ است و ما چهقدر در اين دنيا حقيريم.
از لحاظ ستارهشناسي نتيجه ميگيريم كه زهره در برج مشتري است، پس بايد اوايل تابستان باشد.
از لحاظ فيزيكي، نتيجه ميگيريم كه مريخ در موازات قطب است، پس ساعت بايد حدود سه نيمهشب باشد.
شرلوك هولمز قدري فكر كرد و گفت:
واتسون تو احمقي بيش نيستي. نتيجه اول و مهمي كه بايد بگيري اين است كه چادر ما را دزديده اند!

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 21:4 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

بازی با ریاضی 7

روی میزی پنج جسم قرار دهید , طوریکه تعداد حروف تشکیل دهنده اسم اجسام از 9 بیشتر نباشد و اجسام از نظر تعداد حروف یکسان هم نباشند. مانند کاغذ که چهار حرفی است و خودنویس که هفت حرفی است. سپس از حاضرین تقاضا کنید که دور از چشم شما پنج جسم در کاغذی لیست کنند بطوریکه تعداد حروفشان برابر نباشد. سپس بصورتی که شما دستور می دهید عمل نمایند.
شروع کار

اسم یکی از پنج جسم را به دلخواه در ذهن خود انتخاب نمایند.
تعداد حروف آنرا در عدد 5 ضرب کنند.
به این حاصلضرب عدد 3 را اضافه کنند.
حاصل جمع به دست آمده را در عدد 2 ضرب کنند.
به حاصل ضرب بدست آمده رقم دلخواهی (از 1 تا 9) اضافه نمایند.
نتیجه را به شما بگویند، تا شما بطور غیبی بگویید که آنها کدام جسم را انتخاب کرده‌اند و چه رقم دلخواهی رویش اضافه نموده اند.

عدد نهایی گزارش شده به شما که بدون شک دو رقمی می‌باشد . از این عدد بطور ذهنی عدد 6 را کم کنید.

رقم دهگان این عدد تعداد حروف جسم مفروض و در نتیجه خود جسم را مشخص می‌کند .

رقم یکان این عدد , عدد دلخواه اضافه شده به این محاسبات را معین می‌کند

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 20:56 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

مساحت و محیط شکلهای هندسی

مساحت مـــربع = یـــک ضلع × خـــودش
محیــط مـــربــــع = یک ضلع × 4

2) مساحت مسـتطیـــــــل = طـول × عـرض
محیط مستطیل = ( طول + عرض) × 2

3) مساحت مثلث = ۲/( قاعده × ارتــــــفاع )
محیط مثلث = مجموع سه ضلع

4) مساحت مثلث متساوی الاضلاع = ۲/( قاعده × ارتفاع )
محیط مثلث متساوی الاضلاع = یک ضلع × 3

5) مساحت مثلث متساوی الساقین = ۲/( قاعده × ارتفاع )
محیط مثلث متساوی الساقین= مجموع سه ضلع

6) مساحت مثلث قائم الزاویه = ۲/( قاعده × ارتفاع )
محیط مثلث قائم الزاویه = مجموع سه ضلع

7) مساحت ذوزنقه = ۲/( قاعده بزرگ + قاعده کوچک ) × ارتفاع
محیط ذوزنقه = مجموع چهار ضلع

8) مساحت لوزی = ۲/( قطر بزرگ × قطر کوچک )
محیط لوزی = یک ضلع × 4

9) مساحت متوازی الاضلاع = قاعده × ارتفاع
محیط متوازی الاضلاع = مجموع دو ضلع متوالی × 2

10) مساحت دایره = عدد پی ( 14/3 ) × شعاع × شعاع
محیط دایره = عدد پی ( 14/3 ) × قطر

11) مساحت کره = 4 × 14/3 × شعاع به توان دو

حجم کره = چهار سوم × 14/3 × شعاع به توان سه

12) مساحت بیضی = (نصف قطر بزرگ × نصف قطر کوچک ) × 14/3

13 ) محیط چند ضلعی منتظم = یک ضلع × تعداد اضلاعش

14 ) حجم مکعب مستطیل = طـول × عـرض × ارتفاع
حجم مکعب مربع = قاعده × ارتفاع ( طول یال×مساحت یک وجه)

15 ) حجم هرم = مساحت قاعده ی هرم × ارتفاع هرم× یک سوم

16) مساحت جانبی استوانه = محیط قاعده × ارتفاع حجم استوانه = مساحت قاعده × ارتفاع

سطح کل استوانه = سطح دو قاعده + مساحت جانبی ( مساحت مجموع دو قاعده + ارتفاع × پیرامون قاعده )

17) مساحت جانبی منشور = مجموع مساحت سطوح جانبی
مساحت کلی منشور = مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی

18) حجم مخروط = مساحت قاعده × یک سوم × ارتفاع

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 20:56 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

بازی با ریاضی 6

اگر کلمه سعید را بی شمار پشت سر هم بنویسیم حرف ۵۲۷ ام کدام است؟

چون کلمه سعید چهار حرف دارد ۵۲۷ را بر ۴ تقسیم می کنیم باقی مانده ۳ است پس حرف سوم یعنی "ی" حرف ۵۲۷ ام است.

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 20:55 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

بازی با ریاضی 4

یک عدد را در نظر بگیر با تعداد ارقام دلخواه مثلا ۳۷۸۲۴۶
حالا تعداد ارقام این عدد۶ هست. ۴تا عدد زوج و ۲ تا عدد فرد داره. پشت سر هم مینویسیمشون: ۶۴۲
حالا تعداد ارقام این عدد۳ هست. ۳تا عدد زوج و ۰ تا عدد فرد داره. پشت سر هم مینویسیمشون: ۳۳۰
حالا تعداد ارقام این عدد۳ هست. ۱تا عدد زوج و ۲ تا عدد فرد داره. پشت سر هم مینویسیمشون: ۳۱۲
حالا تعداد ارقام این عدد۳ هست. ۱تا عدد زوج و ۲ تا عدد فرد داره. پشت سر هم مینویسیمشون: ۳۱۲
دیگه ۳۱۲ به هیچ عددی تبدیل نمیشه. مطمئن باش واسه هر عدد دیگه ای که انجام بدی همین ۳۱۲ به دست میاد.

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 20:54 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

بازی با ریاضی 5

ده کیسه پر از سکه داریم. سکه های یکی از این کیسه ها تقلبی است.چگونه با یک بار وزن کردن می توان سکه های تقلبی را پیداکرد؟

کیسه ها را از ۱ تا ۱۰ شماره گذاری می کنیم از کیسه اول یک سکه از کیسه دوم دو سکه از کیسه سوم سه سکه و................واز کیسه دهم ده سکه انخاب می کنیم و انها را وزن می کنیم اگر یک گرم کم باشد کیسه شمار ۱ تقلبی است اگر دو گرم کم باشد کیسه شماره ۲ تقلبی است و .........

+ نوشته شده در سه شنبه ۴ بهمن ۱۳۹۰ ساعت 20:54 توسط Amirabbas Rezaee Hanjani |

مطالب قدیمی‌تر

پایگاه جامع هنجنی

نماد

محاسبه

فرمول‌های مفید

ترکیب‌های با تکرار

محاسبه

کاربرد اتحاد

انواع اتحاد

مربع دو جمله ای

مربع سه جمله‌ای

مزدوج

اتحاد جمله مشترک

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله

اویلر(اولر)

اتحاد لاگرانژ

نیوتونی

تاریخچه

اصول موضوعه

اصول متعارفی

پس از اقلیدس

قضیه فیثاغورس

اثبات

اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه

اثبات اقلیدوس

اثبات با استفاده از بازچینی

اثبات جبری

اثبات به روش دیفرانسیلی

وارون قضیه

هندسه نااقلیدسی

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

برچسب‌ها

پیوندها